Autant la théorie des catastrophes s’intéresse à toutes les formes, autant la théorie des fractales s’intéresse seulement à certains types de formes, les formes irrégulières présentant une certaine autosimilarité interne. L’objet de cette théorie est donc moins ambitieux.
1) Auteur : Benoît Mandelbrot
On doit à un autre français l’invention de cette théorie : Benoît Mandelbrot (1924-2010). Ce n’est pas la seule similitude avec René Thom. Tous deux sont des esprits intuitifs, encyclopédiques (que nulle spécialité ne peut contenir), philosophes, mathématiciens et plus géomètres qu’arithméticiens.
a) Avant les fractales
Né en 1924, Mandelbrot a dès le début été attiré par la géométrie : « Là où la plupart des gens, y compris mes professeurs, voyaient des problèmes d’analyse ou d’algèbre, moi je voyais des choses géométriques [1] ».
Cette forme d’esprit lui a fait réussir l’entrée à l’École Polytechnique dans des conditions assez acrobatiques. Il trouvait les résultats géométriquement et faisait les calculs après coup « pour vérifier ou confirmer les résultats […] trouvés par la géométrie [2] ».
Au sortir de l’X, il commence une classique carrière universitaire, mais il n’apprécie pas l’institution bourbachique. Il fait alors des incursions dans les domaines les plus divers, comme la linguistique, l’économie. Il partira aux Etats-Unis où il enseignera les disciplines les plus diverses, les mathématiques, la physique appliquée, la physiologie. Il dira de sa carrière si variée, voire si éclectique : « Souvent, lorsque j’entends la liste de mes anciennes professions, je me demande si j’existe réellement. L’intersection de ces ensembles est certainement vide [3] ». La conséquence de cette attitude originale est que ce nomade volontaire, ce pionnier par goût « n’a jamais obtenu la reconnaissance des nombreuses disciplines auxquelles il s’est intéressé [4] ».
En réalité, cette déclaration pseudo-modeste est la fierté de ce chercheur qui se veut beaucoup plus généraliste que spécialiste. Sans doute aurait-on tôt ou tard mis au point la théorie fractale ; mais le non-conformisme de Mandelbrot lui a permis de précéder quantité d’universitaires enfermés dans leur spécialisation. À force de virevolter entre des domaines aussi variés, Mandelbrot a découvert un certain nombre de similitudes géométriques.
b) La découverte des fractales
C’est dans l’essai Les Objets fractals, paru en 1975 que Mandelbrot livre sa première présentation de la théorie fractale. Cet ouvrage est à l’image de la formation de son auteur : il est « à la fois une synthèse mathématique et philosophique, et une collection de micro-monographies concernant mes découvertes dans divers chapitres de la science [5] ».
Ce premier ouvrage était plutôt un manifeste. Avouons-le : il n’a sans doute pas eu tout de suite l’impact qu’il connaît maintenant. Sept ans plus tard suit un exposé plus complet : The Fractal Geometry of Nature. Avec le premier, ce livre a assuré une très large audience au projet de Mandelbrot.
2) Énoncé de la théorie
a) Origine du mot
Le terme fractal est un néologisme qui s’est rapidement imposé, puisqu’il fait maintenant partie du vocabulaire sinon commun, du moins connu du grand public. Ce mot fut forgé par Mandelbrot en 1975. Il vient du latin fractus, qui dérive lui-même du verbe frangere, « mettre en pièces », « briser en fragments irréguliers » et se retrouve dans les termes français « fraction » ou « fragment ». Ainsi, fractal désigne ce qui est fractionné de manière irrégulière, les formes complexes, de structure brisée. Et la théorie fractale est la théorie de ce qui est brisé, épars, interrompu.
b) Origine de la doctrine
Cette doctrine utilise des concepts qui ont déjà été élaborés au siècle dernier. Mandelbrot dit même : « La première étincelle de la théorie des fractales jaillit le 20 juin 1877 dans une lettre de Cantor à Dedekind [6] ». En effet, dans cette lettre, le célèbre logicien allemand s’attaque aux fondements même de la géométrie classique en proposant la construction d’une courbe continue sans dérivée. La crise qu’il inaugura ne trouvera sa résolution qu’avec les travaux d’Hilbert et de Gödel. La théorie des fractales s’inscrit dans cette révolution et cette rupture.
c) Originalité de la discipline
Mandelbrot n’hésite pas à dire qu’il fonde une « nouvelle discipline scientifique [7] » à part entière et ne s’inscrit donc pas dans la continuité de celles qui existent déjà. En effet, la mathématique et la physique classiques sont fondées sur un postulat de simplicité et de simplification de leur objet qui trouve son correspondant dans la géométrie euclidienne. Or, « j’affirme que de nombreuses formes de la nature sont si irrégulières et fragmentées que, en comparaison avec la géométrie d’Euclide, la nature manifeste non seulement un degré plus haut mais aussi un niveau différent de complexité [8] ». En effet, « les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles, l’écorce n’est pas lisse et l’éclair ne se propage pas en ligne droite [9] ». Aussi le rôle de la géométrie fractale est de modéliser la nature dans son infinie complexité. En ce sens, la géométrie retrouve son étymologie : « mesure (métron) de la Terre (gê) ».
Certes, la nature est écrite en langage mathématique, mais ce langage n’est pas celui de la géométrie euclidienne. Aussi, Mandelbrot n’hésite-t-il pas à écrire que la géométrie fractale constitue la « deuxième révolution anti-euclidienne [10] », plus radicale encore que la première constituée par les mathématiques de B. Riemann et N. Lobatchevski. Celles-ci ont seulement remis en question le fameux cinquième postulat des Éléments d’Euclide selon lequel par un point pris hors d’une droite passe une et une seule parallèle (pour Riemann, il n’en passe aucune et pour Lobatchevski, une infinité) ; or, la théorie fractale remet en question même les catégories fondamentales des Eléments, c’est-à-dire les notions de ligne, surface, etc.
La théorie fractale présente une autre originalité. La plupart des théories scientifiques se présentent comme des méthodes heuristiques, des systèmes déductifs qui permettent de découvrir nombre d’autres propositions. Or, la géométrie fractale apparaît plutôt comme un souple langage d’interprétation de la nature, sans prétention prédictive.
3) Exposé succinct
a) Différents exemples
Prenons certains exemples classiques et parlants, afin de permettre une induction.
1’) L’ensemble triadique de Cantor
C’est sans doute l’une des illustrations les plus simples. Il constitue l’un des monstres de cette galerie dont parle Henri Poincaré à la fin du siècle dernier. C’est le mathématicien génial Georg Cantor (1845-1918) qui l’a imaginé en 1883. Soit le segment de droite qui est composé de tous les nombres réels compris entre 0 et 1, les deux extrêmes étant inclus. On ôte le tiers central de ce segment, en conservant le premier et le dernier tiers. Cette opération effectuée, on obtient deux intervalles disjoints, séparés par un espace. On peut réitérer l’opération sur chacun des deux segments restants ; dès lors on obtient quatre intervalles constituant un nouvel ensemble. De manière générale, on construit l’ensemble triadique de Cantor en retranchant le tiers central de chaque intervalle, à l’infini. Précisément, cet ensemble est la limite lorsque l’opération tend vers l’infini.
Cet ensemble possède un certain nombre de propriétés étranges. Par exemple, il est constitué d’un nombre infini de points situés à distance finie les uns des autres tout en demeurant discontinus, donc séparés ; de plus, tout voisinage de chacun des points contient une infinité de points appartenant à l’ensemble. Comment le comprendre ? C’est ici où la notion de structure fractale devient très utile. Précisément, l’ensemble triadique de Cantor est un exemple typique de géométrie fractale. En effet, tout ensemble fractal présente les caractéristiques énumérées ci-dessus. Or, tel est le cas de cet exemple : 1. sa structure est très fine, comportant des détails à toutes les échelles ; 2. il est doué d’une homothétie interne ; 3. la complexité réelle de l’ensemble est construite à partir d’une procédure discursive très simple ; 4. la géométrie de cet ensemble est originale, indescriptible en termes classiques. Notons enfin que la dimension fractale de cet ensemble (0,6309) est supérieure à la dimension topologique (qui est nulle, comme toute « poussière », selon le mot de Mandelbrot [11]).
Notons en passant qu’on peut commodément modéliser, codifier cet ensemble et tous les ensembles qui lui sont analogues, par des opérateurs mis en place par Mandelbrot : l’initiateur et le générateur de l’ensemble. L’initiateur est la structure qui sert de point de départ à la construction, à savoir ici l’intervalle [0, 1] et le générateur est la structure qui permet de passer, par substitutions successives, d’une étape à la suivante, à savoir ici l’ablation du tiers central.
2’) La courbe de von Koch
La courbe ou flocon de Koch est un objet mathématique fascinant inventé en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch [12]. Sa célébrité vient de ce qu’il constitue la première ou l’une des premières courbes fractales (avant la lettre), c’est-à-dire présentant une dimension non entière, à avoir été décrites.
D’une extrême simplicité, on peut la dessiner à partir d’un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite en pratiquant les trois opérations suivantes :
- diviser le segment de droite en trois segments de longueurs égales ;
- construire un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape ;
- supprimer le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.
Au bout de ces trois étapes, l’objet résultant présente une forme similaire à une section transversale d’un chapeau de sorcière. Or, la courbe de Koch est la limite des courbes obtenues, lorsqu’on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant.
Cette courbe possède une longueur infinie puisqu’à chaque fois qu’on applique les modifications ci-avant sur chaque segment de droite, la longueur totale augmente d’un tiers. Surtout, redisons-le, une extension de la notion de dimension permet d’attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale Log népérien de 4 sur Log népérien de 3, soit environ 1,26.
b) Tentative de définition
On a proposé différentes définitions rigoureuses de la géométrie fractale qui, toutes, ont dû être abandonnées :
1’) Première
Un objet fractal est ce qui présente une dimension fractale. Celle-ci est un « nombre qui quantifie le degré d’irrégularité et de fragmentation d’un ensemble géométrique ou d’un objet naturel, et qui se réduit, dans le cas des objets de la géométrie usuelle d’Euclide, à leurs dimensions usuelles [13] ».
Mais, d’une part, il existe plusieurs manières de mesurer l’irrégularité d’un ensemble ; aussi existe-t-il plusieurs définitions de la fractalité. En effet, on distingue la dimension topologique ordinaire qui est toujours entière et la dimension fractale qui est souvent non-entière, fractionnaire, voire irrationnelle (par exemple pi). Or, il y a deux sortes d’ensembles, ceux dont les dimensions topologique et fractale coïncident, ceux chez qui ces deux types de dimension diffèrent.
Aussi Mandelbrot préfère renoncer à une définition trop précise des objets fractals. La dimension fractale est rigoureuse, non son champ d’application constitué par les objets fractals : ici, en effet, on quitte le domaine mathématique pour rejoindre l’infini fourmillement, diversité des réalités physiques. « Une fois défini un quelconque concept fractal de dimension, donnant la valeur D, on peut être tenté de définir un ensemble fractal comme étant, soit un ensemble pour lequel D est un réel non entier, soit un ensemble pour lequel D est un entier, mais le tout ‘irrégulier’. Par exemple on appellerait fractal un ensemble qui donne D = 1, mais qui n’est pas une courbe rectifiable. Ce serait fâcheux, car la théorie de la rectifiabilité est trop confuse pour qu’on veuille en dépendre. De plus, il est souvent possible, en perturbant un ensemble très classique au voisinage d’un seul point, de faire que sa dimension devienne une fraction. Du point de vue concret, de tels exemples seraient insupportables. C’est pour les éviter que je renonce à définir le concept d’ensemble fractal [14] ».
2’) Sens intuitif
En définitive, la définition de la fractalité est plus intuitive, donc approximative que formelle, rigoureuse. Voici la définition qu’en donne Mandelbrot : fractal « se dit d’une figure géométrique ou d’un objet naturel qui combine les caractéristiques que voici. A) Ses parties ont la même forme ou structure que le tout, à ceci près qu’elles sont à une échelle différente et peuvent être légèrement déformées. B) Sa forme est, soit extrêmement irrégulière, soit extrêmement interrompue ou fragmentée, et le reste, quelle que soit l’échelle d’examen. C) Il contient des ‘éléments distinctifs’ dont les échelles sont très variées et couvrent une très large gamme [15] ».
Et voilà comment Boutot la commente : « Dans cette perspective, on dira qu’un ensemble est fractal s’il possède les propriétés suivantes :
– il a une structure fine, c’est-à-dire présente des détails à toutes les échelles ;
– il est trop irrégulier pour être décrit dans le langage de la géométrie euclidienne, à la fois localement et globalement ;
– il est en général autosimilaire, éventuellement statistiquement ;
– il a souvent une dimension fractale (à définir) supérieure à sa dimension topologique ;
– dans la plupart des cas, il est défini très simplement, éventuellement discursivement [16] ».
3’) Fractalité, notion première ou philosophique ?
Au fond, la notion de fractale n’est-elle pas typique de toute notion philosophique trop commune, comme celle de mouvement ou de temps ? « On devrait considérer la définition d’un ‘fractal’ comme on considère la ‘vie’. Il est impossible de donner une définition précise d’un être vivant : on peut tout au plus énumérer une liste de propriétés caractéristiques, comme la capacité à se reproduire, à se mouvoir, à subsister indépendamment de son environnement dans certaines limites [17] ». Le scientifique parlera de définition intuitive ou non-rigoureuse ; mais rigueur est souvent comprise, de manière positiviste, comme synonyme d’exactitude, alors que la rigueur d’une définition philosophique est d’un autre ordre.
c) Les différentes espèces de fractale
Comme la théorie des catastrophes, la théorie de Mandelbrot présente une valeur classificatoire. Mais, alors que la première tend à rendre compte de manière rigoureuse, mathématique, de son nombre fini, la théorie fractale n’ayant pas fait l’objet d’une formalisation suffisante pour générer un ensemble clos de structures stables, de sorte que (en attendant ?) les fractales prolifèrent à l’infini. Il n’est toutefois pas impossible de classer les fractales, mais selon une approche phénoménologique qui mixe la forme général (causes intrinsèques) et les règles de construction (cause efficiente).
1’) Deux critères
Précisément, la répartition des fractales se fait selon deux critères.
– Premier critère : les fractales sont soit déterministes soit aléatoires. Les premières sont prévisibles, car elles sont construites sur des règles parfaitement codifiées, alors que les secondes sont imprévisibles, du fait de leur modalité de construction.
– Second critère : les fractales sont soit stratifiées, soit non stratifiées. Les premières s’obtiennent au moyen d’une procédure récursive (appliquant indéfiniment un générateur sur un initiateur). Les secondes sont obtenues par intersection de niveaux comportant une multitude de détails de plus en plus fins.
2’) Tableau résumé
On obtient ainsi un catalogue fractal sous la forme d’une matrice 3 x 3 :
| Fractales déterministes | Fractales aléatoires | |
| Fractales stratifiées | Ensemble triadique de Cantor
Courbes et îles de von Koch Tamis de Sierpinski |
Ensemble triadique de Cantor randonisé
Courbes et îles de von Koch randonisés |
| Fractales non stratifiées | Ensemble de Mandelbrot | Fractales browniennes élémentaires et généralisées comme les fractales parétiennes, les poussières, le vol et l’escalier de Lévy… |
4) Interprétation philosophique
L’autosimilarité fractale se rencontre tant au plan de l’acte premier (toutes les structures ; dernièrement on s’est aperçu que le génome humain, en ses parties codantes, présentait une structure en vaguelette, et obéissait au nombre d’or) qu’au plan de l’agir, des comportements, humain ou non-raisonnable (vent, avalanches, etc.).
Il faut en refuser la fausse explication, hermétiste : « Ce qui est en haut est ce qui est en bas ». Mais quelle interprétation en donner ? Il y a là un grand mystère qui est sans doute un principe d’économie
5) Bibliographie
a) Ouvrages de Mandelbrot
– Benoît Mandelbrot, Les objets fractals, Paris, Flammarion, 1975, 31989.
– The Fractal Geometry of Nature, New York, William H. Freeman, 31983.
b) Articles de Mandelbrot
– « How long is the coast of Britain ? Statistical self-similarity and fractional dimension », Science, 155 (1967) n° 3775, p. 636-638.
– « Des Monstres de Cantor et de Peano à la géométrie fractale de la nature », in Penser les mathématiques, coll. « Points Sciences » n° 29, Paris, Seuil, 1982.
– « Comment j’ai découvert les fractales », La Recherche, 17 (1986) n° 175, p. 420-424.
c) Ouvrages et articles sur la théorie fractale
– Guy Cherbit (Ed.), Fractals, dimensions non entières et applications, Paris, Masson, 1987.
– Kenneth Falconer, Fractal Geometry, New York, Wiley, 1990.
– Jens Feder, Fractals, New York, Plenum Press, 1988.
– Witold Hurewicz et Henry Wallman, Dimension Theory, Princeton, Princeton University Press, 21948.
– Alain Le Méhauté, Les géométries fractales, Paris, Hermès, 1990.
– Heinz-Otto Peitgen et Dietmar Saupe (Ed.), The Science of Fractal Images, New York, Springer, 1988.
– Gérard de Vaucouleurs, « The Case for a hierarchical Cosmology », Science, 167, 1970, p. 1203-1213.
Pascal Ide
[1] « Comment j’ai découvert les fractales », La Recherche, 17 (1986) n° 175, p. 420-424, ici p. 424.
[2] Ibid.
[3] James Gleick, La théorie du chaos, p. 117.
[4] Ibid.
[5] Les objets fractals, Préface à la deuxième éd., p. 2.
[6] « Des Monstres de Cantor et de Peano à la géométrie fractale de la nature », Penser les mathématiques, coll. « Points Sciences » n° 29, Paris, Seuil, 1982, p. 227.
[7] Les objets fractals, p. 17.
[8] Les objets fractals, p. 1.
[9] Ibid.
[10] « Des Monstres de Cantor et de Peano à la géométrie fractale de la nature », art. cité, p. 232.
[11] The Fractal Geometry of Nature, p. 78. Mandelbrot parle de dust poussière qui, par définition, est douée d’une dimension topologique nulle.
[12] Cf. Helge von Koch, « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire », Arkiv för matematik, astronomi och fysik, 1 (1904), p. 681-704.
[13] Les objets fractals, p. 155.
[14] Les objets fractals, p. 160. C’est moi qui souligne.
[15] Les objets fractals, p. 140.
[16] Alain Boutot, L’invention des formes. Chaos-Catastrophes-Fractales-Structures dissipatives-Attracteurs étranges, Paris, Odile Jacob, 1993, p. 38 et 39.
[17] Kenneth Falconer, Fractal Geometry, New York, Wiley, 1990, p. xx.