4) La preuve du théorème. Portée métaphysique
Il est clair que le théorème de Gödel présente une signification épistémologique. Il montre que l’intuition ne peut jamais se réduire à la formalisation, mais la déborde. A cette irréductibilité du point de vue du sujet connaissant, correspond une autre irréductibilité du point de vue de l’objet connu : à savoir qu’aucun objet de quelque dimension n’est exhaustible ; il conserve toujours une part de mystère. Autrement dit, la mathématique se fonde toujours sur une précompréhension intuitive, par exemple ici, de la vérité : à se vouloir totalisante, la logique axiomatique serait donc totalitaire et erronée.
Ce théorème « définit une sorte d’horizon de compréhension déterminé par le nombre fini d’axiomes déjà effectués. Plus ce nombre est grand, plus l’horizon est éloigné [1] ».
Ici, se conjuguent les deux aspects du théorème de Gödel, son énoncé et son argumentation.
La portée métaphysique se prend en creux (réfutation du scientisme et de l’agnosticisme kantien) et en plein (ouverture à l’esprit ; plus, ouverture à Dieu ou portée théologique du théorème).
a) Portée critique
1’) Critique du scientisme antimétaphysique
Yves Mathonat, qui est passionné par les sciences, est convaincu que celles-ci sont aujourd’hui en grave crise (le signe en étant leur éclatement : elles ne s’occupent plus que d’un fragment du réel ; la cause en étant leur limite intrinsèque, formalisée par le deuxième théorème de Gödel, auquel Yves revient volontiers). L’un des remèdes, selon lui, serait que le discours philosophique puisse proposer une vision inédite qui puisse fédérer, éclairer – surtout un monde scientifique extraordinairement conservateur.
« Il n’est plus possible de soutenir que le discours scientifique possède des fondations assurées en toute certitude, que la vérité des théories scientifiques peut être démontrée, que la science décrit une réalité extérieure et indépendante […]. Découvrir que l’univers dans lequel nous vivons n’est pas entièrement réductible à notre discours formel et que certaines de ses parties ou de ses propriétés échappent et échapperont toujours à nos possibilités de formalisation et de prédiction est sans doute frustrant, mais néanmoins important à savoir. Seule la science du xxe siècle en a apporté une preuve irréfutable : événement dont la portée est considérable, y compris pour le philosophe [2] ».
2’) Une réfutation de l’objection agnostique de Kant ?
Enfin, Norbert Tannhof, philosophe, suggère, dans des notes dactylographiées et non publiées de cours, que ce principe de Gödel puisse être utilisé pour réfuter la fameuse quatrième antinomie kantienne. On le sait, Kant, dans son quatrième conflit des idées transcendantales [3] estime aussi convaincante l’argumentation concluant à l’existence d’un être absolument nécessaire cause du monde que celle qui démontre son inexistence. Aussi, renvoie-t-il dos à dos les philosophes athées et les partisans de la théologie naturelle. [4]
Mais, estime Tannhof, les antinomies kantiennes affirment simplement que dans chaque système formel cohérent, dont le sien, il existe des propositions indécidables. Or, justement, le théorème de Gödel ne vaut que pour les systèmes formels, univoques. Mais la démonstration de l’existence de Dieu, si elle est absolument rigoureuse [5], les termes utilisés sont nécessairement analogues (et surtout celui d’existence). Ergo…
3’) Refus d’une fondation ultime du discours ?
Jean Ladrière se refuse à une fondation ultime autre que logique et opte pour le critère de la fécondité. Son discours paraît assez marqué par ce que lui a enseigné son étude des limitations internes des systèmes formels.
« Dans les sciences formelles, l’entreprise fondationnelle prend une allure strictement formaliste: fonder, c’est axiomatiser et fournir une démonstration de non-contradiction pour le formalisme ainsi constitué. On sait les difficultés qui ont été rencontrées et qui ont obligé les logiciens à reconnaître qu’un programme fondationnel radical représente une tâche irréalisable. Il n’y a pas de système formel ultime capable de fonder tous les autres et de se fonder lui-même. Dans les sciences empirico-formelles, l’idée de fondation a été formulé de la manière la plus claire par l’école empiriste, sous la forme d’une réduction ultime de toutes les propositions de la science, y compris des propositions théoriques, à des propositions qui seraient sensées exprimer un pur donné […]. Le point de vue empiriste strict et son programme réductionniste se heurtent à des obstacles de nature à la fois empirique et logique. Il y a un cercle méthodologique dans les sciences empirico-formelles. Il n’y a pas moyen d’en appeler à un donné ultime […]. Toutes les propositions, même les propositions observationnelles, ont un caractère théorique, toutes les propositions doivent être considérées comme ouvertes à l’égard de vérifications ultérieures. S’il n’y a pas de donné ultime, il n’y a pas non plus de fondation ultime. Enfin, en ce qui concerne les sciences herméneutiques, la question qui se pose est de savoir s’il y a un langage privilégié […]. Cette question s’est précisée sous la forme suivante: peut-on en définitive réduire le discours herméneutique soit à un discours de physique, soit à un discours de philosophie ? On a vu les difficultés qui surgissent dans l’une comme dans l’autre éventualité.
« Ces remarques nous conduisent à l’idée d’un savoir qui serait critique sans être fondé. Il y a peut-être une illusion à se représenter l’idée de justification sous la forme d’un discours fondateur ultime, jouissant d’une apodicticité. Mais le problème de la justification subsiste. Nous devons aussi, par ailleurs, montrer ce qu’il en est de la fécondité des méthodes que nous employons. Après tout, la vraie justification d’une méthode, c’est sa fécondité. Mais comment définir celle-ci ? On pourrait dire qu’une méthode est féconde dans la mesure où elle est capable de nous donner à comprendre la réalité que nous interrogeons. Mais qu’est-ce que comprendre ? Il y a une pluralité de discours, de sciences et de métasciences, et cela indique qu’il y a peut-être une pluralité de modes de compréhension. Cependant, à travers tous les discours, théoriques et métathéoriques, comme à travers toutes les entreprises de fondation ou de justification, circule une même idée, à la fois unificatrice et révélatrice, qui est l’idée de vérité. Il y a un cercle de la vérité, qui fonde tous les autres […]. Mais ses présuppositions ne peuvent cependant pas être entièrement élucidées car il n’y a pour nous ni vérité accessible sous forme d’un donné pur, ni vérité toute faite sous forme d’une construction a priori. La vérité est toujours à faire; elle nous précède et s’annonce en même temps. Elle nous éclaire mais elle reste énigmatique […]. En conclusion, nous pourrions dire que cette évocation de la situation problématique et pluraliste de la science […] est indicatrice d’une situation générale de la raison humaine, qui est elle-même une question ouverte à un déchiffrement. Nous sommes mesurés à la vérité mais nous ne réussissons pas à dire ce que compte son exigence. Nous sommes dans la clarté mais en même temps dans l’énigme. La raison porte en elle une norme, un vu imprescriptible d’unité et de transparence, mais elle ne semble pouvoir ni se totaliser ni s’expliciter pleinement.
« Elle est assez lucide cependant pour reconnaître en elle cette limitation. La limite ne nous apparaît que sur le fond de l’illimité. C’est pourquoi nous devons la percevoir non pas comme un terme qui marquerait la fin d’un parcours, mais bien plutôt comme la trace d’une finitude qui porte en elle à la fois l’aveu de son impuissance et l’audace d’une espérance ouverte sur l’infini [6] ».
b) Une structuration emboîtée du réel
Il me semble que l’idée de systèmes pas seulement autres, mais emboîtés, doit être développée. Gödel pensait que le problème qui n’est pas soluble dans un système donné, peut l’être dans un métasystème, donc un système plus englobant qui, lui aussi, comporte encore un nombre infini de propositions non démontrables, indécidables.
c) Ouverture à l’esprit
Pour Penrose ou Hofstadter, ce théorème constitue de plus un maillon pour penser l’esprit.
« La plus singulière des machines et la plus compliquée est lovée dans la boîte de pierre où repose notre cerveau. Machine pensante fantastique, encore largement inconnue et que, mystère des mystères ! nous savons utiliser sans démêler le moins du monde comment elle nous obéit [7] ».
d) Ouverture à Dieu
Il est déjà significatif que Kurt Gödel ait laissé une preuve de l’existence de Dieu à partir de la logique modale, preuve qui n’est pas sans présenter des ressemblances avec l’argument ontologique de saint Anselme, sur lequel il a médité longuement au terme de sa vie [8].
Stanley Jaki suggère une intéressante application du théorème de Gödel à la cosmologie et plus généralement à la métaphysique qu’il développe depuis 1966.
« L’illusion d’une théorie définitive apparaît également du point de vue mathématique […]. Or, le théorème de Gödel montre que la cohérence de tout système non trivial d’axiomes mathématiques ne peut être découverte qu’en dehors de ce système – et donc qu’aucun système mathématique ne peut être complet. En d’autres termes, si la relativité générale nous force à admettre que la cosmologie scientifique repose sur une notion réaliste d’objets en interaction cohérente les uns avec les autres, l’application à la cosmologie du théorème de Gödel montre qu’il est impossible de prouver que l’univers n’est pas contingent [9] ».
Plus précisément, pourrait-on fonder une preuve de l’existence de Dieu à partir du théorème de limitation des systèmes formels ? Douglas Hofstadter suggère involontairement une piste. La distinction importante de l’automodifiable et de l’intouchable, des deux niveaux I et E structurant toute réalité n’est pas sans rappeler la distinction aristotélicienne du mobile et de l’immuable, qui se fonde sur le couple déjà rencontré de l’acte et de la puissance. Or, on le sait peut-être, la preuve aristotélicienne du premier moteur se fonde sur deux principes clairement distingués. Le premier est la distinction de l’acte et de la puissance dont la concrétisation est celle du moteur et du mobile, autrement dit, de ce qui meut et de ce qui est mû. Le second, la non-régression à l’infini.
Nous avons vu que Douglas Hofstadter le retrouve. Mais, là où nous divergeons de Douglas Hofstadter, c’est quant au second principe. Car la notion de Boucle étrange, refuse la question de la régression à l’infini et borne d’emblée la question dans le monde de la finitude qui est justement problématique. Au concept de Boucle Étrange, Aristote aurait objecté que le concept d’une causalité réciproque est contradictoire.
Mais il faudra en parler plus longuement notamment lorsque nous aborderons la question des régulations cybernétiques.
Il est d’ailleurs révélateur que Hofstadter fasse abondamment appel au zen dont la méfiance à l’égard de toute rationalité, plus l’amentalisme sont bien connus. En effet, Hofstadter identifie l’indécidabilité à tout le domaine des disciplines non formelles et finalement non scientifiques à la métaphysique en général. Il est donc tributaire du monisme méthodologique qui est la rançon du cartésianisme. D’où le vide, le silence sont le dernier mot de la philosophie.
1’) Interprétation théologique du théorème
Einstein disait du logicien autrichien : « J’ai eu la chance de fréquenter M. Gödel vingt-cinq ans ».
Après avoir inventé les deux théorèmes que nous connaissons, Gödel n’a cessé de chercher une formalisation de la preuve de l’existence de Dieu.
Le grand reporter de l’hebdomadaire Le Point et futurologue Daniel Garric interprétait ce théorème comme une illustration de l’affirmation de Jésus selon laquelle « Si je me rends témoignage à moi-même, mon témoignage n’est pas valable. Un autre témoigne de moi, et je sais qu’il est valable, le témoignage qu’il me rend [10] ». En effet, la preuve du théorème se fonde sur l’impossible référence à soi-même. Jésus « gödelisait »-il quodammodo ?
L’homme est un infini et de ce fait, il ne peut se porter témoignage, car il ne peut s’énumérer. Ce serait l’un des sens du cogito blessé dont parle Paul Ricœur [11].
Par ailleurs, Dieu n’est-il pas le seul Infini qui ne tombe pas sous le coup du théorème de Gödel ?
2’) Confirmation chez Hilbert
Le génie mathématique encore jeune David Hilbert a écrit en 1888 un article qu’il soumet aux Annales de mathématiques, où il propose un théorème révolutionnaire, connu aujourd’hui sous le nom de « théorème de finitude ». De quoi attirer l’attention du métaphysicien !!
Une anecdote significative. Lorsque Paul Gordan, l’expert du sujet aux Annales de mathématiques, reçoit l’article de Hilbert, il le rejeta avec exaspération en affirmant : « Ce n’est pas des mathématiques, mais de la théologie » et conclut : « C’est insuffisant pour les Annales ». Hilbert réagit tout aussi vivement : « Je ne suis pas prêt à modifier ou à supprimer quoi que ce soit ! » Heureusement, Felix Klein, autorité incontestée à la prestigieuse université de Göttingen et régnant aussi sur les Annales, le fera publier tel quel.
Or, quel est le sens philosophique de cet article hérissé de calculs opaques aux béotiens ? « En tirant les conclusions philosophiques de ce théorème fondateur, Hilbert va se forger peu à peu une conviction qui va dominer toute sa pensée. Laquelle ? Que l’Univers n’est pas infini, ni dans le temps ni dans l’espace. Qu’il est soumis à un ordre éblouissant. Et que la source de cet ordre – de cette pensée ? – se trouve au-delà de l’Univers. Au-delà de l’espace et du temps [12] ».
e) Un indice du don originaire ?
Je me demande si, au fond, le principe de limitation interne des systèmes formels n’est pas une trace du don ineffaçable de l’origine. En effet, ce principe montre l’échec de la formalisation totale et un excès de l’intuition sur le thématisable. Or, la formalisation correspond au temps de la maîtrise, donc du don à soi. Alors que l’intuition déborde et signale la source qui s’attarde dans le don stabilisé.
De plus, le théorème de Gödel, trace de l’infini dans le fini, ne doit-il pas s’interpréter à partir du concept d’enveloppement ? En effet, l’excès d’intuition dont parle Ladrière peut aussi s’interpréter comme un dehors bordant et limitant de l’extérieur, autant que comprenant et contenant ce que la pensée thématise. De fait, la solution des paradoxes manifestant la limitation du système formel se fait en convoquant un méta-discours, un champ plus large. Les lois de limitation sont donc l’indice que l’englobement, le chez-soi s’étend jusque dans le domaine formel des constructions mentales. Or, l’enveloppement est corrélé au don originaire.
5) Conclusion
Nous n’avons pas épuisé les interprétations possibles. L’une d’entre elles, suggestive, s’inspire de Blondel, précisément du hiatus entre volonté voulante et volonté voulue. Elle est développée par Dominique Lambert et Marc Leclerc [13].
Ainsi que Gœthe le notait, l’histoire de la pensée s’est une fois pour toutes positionnée entre ces deux titans inégalables que sont Platon et Aristote [14]. Plus encore que vers une interprétation idéaliste ou réaliste du théorème de Gödel, toute philosophie incline, comme spontanément, inconsciemment, vers une relecture soit platonicienne, soit aristotélicienne du théorème des limitations. Dans la première perspective, ce théorème s’inscrit dans le statut inachevé de notre être-au-monde, qui a pour face subjective l’inquiétude de toutes nos quêtes et leur congénitale limitation. Mais, pour un chrétien ou un penseur qui n’exclut pas la transcendance, cette finitude de toute appréhension du réel est le versant ombrée de l’orientation foncière de l’esprit vers l’Absolu. Voilà pourquoi nous ne pouvons voir Dieu qu’en ses œuvres et même en nos propres œuvres. C’est ce que rappelle le théorème de Gödel. « Nous voulons ‘voir’, parce que nous croyons posséder ainsi l’évidence la vérité. Mais celle-ci nous échappe, car l’homme est créé pour voir Dieu et il n’y parvient pas ici-bas [15] ». Une telle perspective conjugue par exemple Jean Ladrière et Hans Urs von Balthasar.
Pour notre part, nous avons préféré un autre point de vue, sans nier ni la pertinence ni la fécondité du point de vue dit platonicien ou augustinien. Au fond, c’est le couple acte-puissance (dans son application à la différence fini-infini) qui me semble rendre compte de la logique de l’indécidabilité et de la différence existant entre intuitif et formel, entre la visée de l’esprit et le résultat. L’inexhaustivité qui voile l’être mathématique est fondée d’une part sur la potentialité et d’autre part sur l’infinité de l’objet formel que l’acte d’esprit inséré dans la temporalité et donc dans la finitude ne parcourt que successivement. Comme le dit très bien Jean Ladrière : « Cette potentialité que l’intuition trouve ainsi inscrite en ses démarches mêmes est donc pour elle la manifestation d’un inépuisable ; il est toujours possible d’aller au-delà de tout terme effectivement accessible ». [16]
Mais n’est-ce pas trop dire ? Ne donnons-nous pas trop d’importance à ce qui n’est finalement qu’un théorème de logique mathématique ? N’est-ce pas tomber dans un nouveau concordisme ? Il serait en effet vain de gratifier le théorème de Gödel d’une aura métaphysique qu’il n’a jamais revendiqué. Il ne nous semble pas que l’accusation de pangödelisme se soit retourné contre nous. S’il donne à penser, c’est parce que nous l’avons croisé, au risque de créer des hybrides monstrueux, avec des données d’ordre philosophique. Nous ne dialoguons plus avec le théorème de Gödel lui-même, mais avec l’élaboration philosophique que Douglas Hofstadter et, plus encore, Jean Ladrière en tirent, brillamment. Mais il y a plus. Si les théorèmes de limitation présentent une telle fécondité spéculative, c’est qu’ils touchent, dans leur énoncé même, à des questions liminales, déjà imprégnées de philosophie : l’infini, les limites de l’observateur, les relations néotiques sujet-objet, etc.
Enfin, pour répondre à l’accusation de concordisme, il serait intéressant de revenir sur une juste partition des savoirs, qui n’est pas cloisonnement, mais distinction et hiérarchisation. Notre époque manque cruellement d’une sagesse audacieuse qui cesse de juxtaposer pour vitalement articuler les activités de l’esprit humain en quête d’intelligibilité. Il faut passer du règne de l’entendement séparateur à celui de la raison, au sens hégélien du terme.
Pascal Ide
[1] Jean-Pierre Changeux et Alain Connes, Matière à pensée, Paris, Odile Jacob, 1989, p. 210.
[2] Hervé Zwirn, Les limites de la connaissance, Paris, Odile Jacob, 2000, p. 14.
[3] Critique de la Raison Pure, Dialectique Transcendantale.
[4] Pour le détail de la critique générale du kantisme, nous renvoyons notamment à Roger Verneaux, par exemple dans Histoire de la philosophie moderne, Paris, Beauchesne, 1968, p. 168 s. Cf. aussi Pascal Ide, Introduction à la métaphysique, p. 37-40.
[5] Elle peut par exemple être mise en syllogisme, comme Thomas d’Aquin le fait dans la Somme de théologie et plus encore dans la Somme contre les Gentils, L. I, ch. 15-16.
[6] Jean Ladrière, L’articulation du sens. 3 tomes, ici vol. 2. Les langages de la foi, Paris, Le Cerf, 1984, p. 49-50. C’est moi qui souligne.
[7] Rémy Chauvin, Dieu des fourmis, Dieu des étoiles, Paris, Belfond, Le Pré aux clercs, 1988, p. 248. Ce qui rejoint l’intuition central du phénoménologue Michel Henry sur l’auto-affection innée de la vie, antérieure à toute connaissance conceptualisée, notionalisée.
[8] Cf. Philippe Thiry, L’existence de Dieu. Les arguments de l’agnosticisme, de l’athéisme et du théisme, coll. « Droit » n° 18, Namur, P.U.N., Travaux de la faculté de droit, 1996, p. 175-181.
[9] Stanley L. Jaki, « L’absolu au-delà du relatif. Réflexions sur Einstein », Communio, 17 (1992) n° 4, p. 135-149, ici p. 148.
[10] Jn 5,31-32.
[11] Soi-même comme un autre, Paris, Seuil, 1990, introd.
[12] Igor et Grichka Bogdanov, La pensée de Dieu, Paris, Grasset, 2012, p. 154. Toutes ces informations sont tirées des p. 153-154.
[13] Dominique Lambert et Marc Leclerc, Au cœur des sciences. Une métaphysique rigoureuse, « Bibliothèque des Archives de Philosophie », n° 60, Paris, Beauchesne, 1996. Cf. annexe 1 et p. 24-28.
[14] Cf. Pascal Ide, « Aristotélisme ou platonisme », Revue Thomiste, 95 (1995), p. 567-610.
[15] G. Martinot, « La vie religieuse et la télévision », Vie consacrée, 1989, n° 6, p. 377.
[16] Jean Ladrière, Les limitations internes des formalismes, p. 440.